Задание 30 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−15; 5). Найдите количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−11; 4].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 162BAA — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 162BAA

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

До точки максимума функция возрастает, поэтому производная положительна; после неё функция убывает, поэтому производная отрицательна. На заданном отрезке такая последовательность знаков встречается два раза.

Ключевая идея: найти два перехода производной через ноль сверху вниз на [−11; 4].

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−15; 5).

Нужно найти: количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−11; 4].

План решения: До точки максимума функция возрастает, поэтому производная положительна; после неё функция убывает, поэтому производная отрицательна. На заданном отрезке такая последовательность знаков встречается два раза.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\to-,\qquad N=2

Для максимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 162BAA: на отрезке [−11; 4] отмечено 2 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точка максимума функции $f$ ( $x$ ) соответствует смене знака производной с положительного на отрицательный: «+» → «−».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Выделяем часть графика $y$ = $f$ ′( $x$ ) над отрезком [−11; 4] и находим его пересечения с осью Ox.

Шаг 3. Проверим смены знака

Проверяем направление каждого перехода. Дважды график проходит через Ox сверху вниз, то есть $f$ ′( $x$ ) меняется с «+» на «−».

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Значит, на отрезке [−11; 4] функция $f$ ( $x$ ) имеет 2 точки максимума.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для максимума $f$ ′( $x$ ) меняет знак «+» → «−».
Переход «−» → «+» соответствует минимуму и не входит в ответ.
Один только факт $f$ ′( $x$ ) = 0 не определяет вид экстремума.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать все нули производной, не различая максимумы и минимумы.
Перепутать направление смены знака и посчитать переходы снизу вверх.
Включить пересечения вне отрезка [−11; 4].

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Отметьте границы −11 и 4 на оси $x$ .
2Для каждого нуля запишите знак $f$ ′( $x$ ) слева и справа.
3Оставьте только пары «+; −» — их 2.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена