Задание 14 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 57A7B1 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 57A7B1

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Для графика производной используется только его положение относительно оси Ox. Два штриха $x_{6}$ и $x_{7}$ попадают на отрицательные участки производной, поэтому именно там исходная функция убывает.

Ключевая идея: найти

x_{6}

x_{7}

на отрицательных участках графика

y

f

′(

x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Для графика производной используется только его положение относительно оси Ox. Два штриха $x_{6}$ и $x_{7}$ попадают на отрицательные участки производной, поэтому именно там исходная функция убывает.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ ниже }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 57A7B1: цветом отмечены x₆, x₇; всего 2.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция $f$ ( $x$ ) убывает при $f$ ′( $x$ ) < 0. На рисунке это те отмеченные абсциссы, над которыми график производной расположен ниже оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем точки $x_{1}$ , …, $x_{9}$ . Ниже оси Ox график находится только при $x_{6}$ и $x_{7}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{8}$ и $x_{9}$ значение $f$ ′( $x$ ) положительно, поэтому эти точки принадлежат промежуткам возрастания.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам убывания принадлежат 2 отмеченные точки: $x_{6}$ и $x_{7}$ .

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Неравенство $f$ ′( $x$ ) < 0 является признаком убывания функции $f$ ( $x$ ).
Для графика производной область ниже оси Ox соответствует отрицательным значениям.
Точка с $f$ ′( $x$ ) > 0 принадлежит промежутку возрастания независимо от наклона самого графика $f$ ′( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать точки на нисходящих ветвях графика производной, даже если они выше оси.
Включить $x_{5}$ : график резко падает, но в самой точке $x_{5}$ ещё расположен выше Ox.
Не включить $x_{7}$ из-за близости следующего пересечения с осью.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Смотрите на знак значения $f$ ′( $x$ ᵢ), а не на направление кривой.
2Отметьте все точки ниже Ox: $x_{6}$ и $x_{7}$ .
3Проверьте итоговое количество: 2.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена