Задание 70 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = (7 - x) e^{7 - x}$

Оригинальная формула к заданию 9 ЕГЭ ФИПИ 35F6F7 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 35F6F7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная отрицательна при $x$ < 8 и положительна при $x$ > 8.

Ключевая идея: Для функции

y

= (7 −

x

)

e

^{7 - x}

: для данной функции получаем

y

′ = −

e

^{7 - x}

− (7 −

x

)

e

^{7 - x}

e

^{7 - x}

(

x

− 8). Экспонента положительна, поэтому

y

′ = 0 только при

x

= 8. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = (7 - x)e^{7 - x}$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная отрицательна при $x$ < 8 и положительна при $x$ > 8.

Главная формула для этой задачи

y' = -e^{7 - x} - (7 - x)e^{7 - x} = e^{7 - x}(x - 8)

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = − $e$ $^{7 - x}$ − (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ = $e$ $^{7 - x}$ ( $x$ − 8).

Шаг 3. Найдём критические точки

Экспонента положительна, поэтому $y$ ′ = 0 только при $x$ = 8.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная отрицательна при $x$ < 8 и положительна при $x$ > 8.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 8.

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ применяем следующее правило: для произведения применяется формула (uv)′ = $u$ ′ $v$ + uv′, причём $e$ $^{u}$ > 0 при любом допустимом $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = − $e$ $^{7 - x}$ − (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ = $e$ $^{7 - x}$ ( $x$ − 8).
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ : не применить правило произведения либо забыть знак, возникающий при дифференцировании показателя экспоненты.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная отрицательна при $x$ < 8 и положительна при $x$ > 8».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 8.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = − $e$ $^{7 - x}$ − (7 − $x$ ) $e$ $^{7 - x}$ = $e$ $^{7 - x}$ ( $x$ − 8); экспонента положительна, поэтому $y$ ′ = 0 только при $x$ = 8.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 8; формат ответа — 8.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=(7−x)e7−x.