На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 49C3EA — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 49C3EA

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Отмеченные точки чередуются между положительными и отрицательными фрагментами графика производной. Нас интересуют четыре точки с отрицательной ординатой: $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{6}$ и $x_{8}$ .

Ключевая идея: выбрать четыре точки ниже оси Ox:

x_{2}

x_{4}

x_{6}

x_{8}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Отмеченные точки чередуются между положительными и отрицательными фрагментами графика производной. Нас интересуют четыре точки с отрицательной ординатой: $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{6}$ и $x_{8}$ .

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ ниже }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 49C3EA: цветом отмечены x₂, x₄, x₆, x₈; всего 4.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция $f$ ( $x$ ) убывает при $f$ ′( $x$ ) < 0. На графике производной это точки, расположенные ниже оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем восемь отмеченных абсцисс. Отрицательны значения $f$ ′( $x_{2}$ ), $f$ ′( $x_{4}$ ), $f$ ′( $x_{6}$ ) и $f$ ′( $x_{8}$ ).

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{1}$ , $x_{3}$ , $x_{5}$ и $x_{7}$ график находится выше оси, поэтому функция $f$ ( $x$ ) там возрастает.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам убывания принадлежат 4 отмеченные точки.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

При $f$ ′( $x$ ) < 0 исходная функция убывает.
На графике $y$ = $f$ ′( $x$ ) отрицательное значение находится ниже оси Ox.
Знак $f$ ′( $x$ ᵢ) определяется в самой отмеченной абсциссе, даже если рядом есть пересечение с осью.