Задание 59 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = 2 x x - 21 x + 16$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1BFB4B

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 49

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 2x $x$ − 21x + 16. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: при $x$ < 49 производная отрицательна, а при $x$ > 49 положительна, значит это точка минимума.

Ключевая идея: Для функции

y

= 2x

x

− 21x + 16: для данной функции получаем

y

′ = 3

x

− 21. Из

y

′ = 0 получаем

x

= 7, поэтому

x

= 49. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 2x\sqrt{x} - 21x + 16$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 2x $x$ − 21x + 16. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: при $x$ < 49 производная отрицательна, а при $x$ > 49 положительна, значит это точка минимума.

Главная формула для этой задачи

y' = 3\sqrt{x} - 21

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ ≥ 0; запишем $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ .

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 3 $x$ − 21.

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = 7, поэтому $x$ = 49.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

При $x$ < 49 производная отрицательна, а при $x$ > 49 положительна, значит это точка минимума.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 49.

Ответ:

49

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 2x $x$ − 21x + 16 применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 3 $x$ − 21.
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 2x $x$ − 21x + 16: считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «При $x$ < 49 производная отрицательна, а при $x$ > 49 положительна, значит это точка минимума».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 49.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 2x $x$ − 21x + 16 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ ≥ 0; запишем $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ .
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 3 $x$ − 21; из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = 7, поэтому $x$ = 49.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 49; формат ответа — 49.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=2xx​−21x+16.