Задание 54 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f$ ( $x$ ) отрицательна.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер A62F87 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A62F87

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Каждая точка рассматривается локально. Семь отметок попадают на нисходящие ветви трёх волн графика; даже точки с положительным значением $f$ ( $x$ ) могут иметь отрицательную производную.

Ключевая идея: посчитать

x_{1}

x_{2}

x_{4}

x_{5}

x_{6}

x_{8}

x_{9}

на участках убывания.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ , $x_{10}$ .

Нужно найти: количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f$ ( $x$ ) отрицательна.

План решения: Каждая точка рассматривается локально. Семь отметок попадают на нисходящие ветви трёх волн графика; даже точки с положительным значением $f$ ( $x$ ) могут иметь отрицательную производную.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;f\text{ убывает около }x_i

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче A62F87: цветом отмечены x₁, x₂, x₄, x₅, x₆, x₈, x₉; всего 7.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

На графике $y$ = $f$ ( $x$ ) отрицательная производная соответствует точкам, где функция убывает слева направо.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем десять отмеченных абсцисс. Нисходящий наклон наблюдается при $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{8}$ и $x_{9}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{3}$ , $x_{7}$ и $x_{10}$ график возрастает, поэтому производная в этих точках положительна.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Отрицательная производная имеется в 7 отмеченных точках.

Ответ:

7

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если график $y$ = $f$ ( $x$ ) убывает около точки, то $f$ ′( $x$ ) < 0.
Несколько отмеченных точек на одной нисходящей ветви считаются отдельно.
Знак производной не зависит от положения графика выше или ниже Ox.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать нисходящие участки вместо отмеченных точек.
Пропустить $x_{5}$ или $x_{6}$ , потому что график проходит через ось: направление там остаётся нисходящим.
Включить $x_{7}$ , хотя в этой точке график уже поднимается.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите направление графика около каждой из десяти отметок.
2Сверьте список: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ .
3Пересчитайте точки: 7.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена