Задание 120 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = (4 - x) e^{x + 4}$

Оригинальная формула к заданию 9 ЕГЭ ФИПИ 56CF6E — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 56CF6E

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= (4 −

x

)

e

^{x + 4}

: для данной функции получаем

y

′ = −

e

^{x + 4}

+ (4 −

x

)

e

^{x + 4}

e

^{x + 4}

(3 −

x

). Экспонента положительна, поэтому критическая точка

x

= 3. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = (4 - x)e^{x + 4}$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ . Применяем правило производной произведения и производную сложной экспоненты; множитель $e$ $^{u}$ всегда положителен, поэтому знак задаёт оставшийся множитель. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = -e^{x + 4} + (4 - x)e^{x + 4} = e^{x + 4}(3 - x)

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

Область определения — все действительные числа.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = − $e$ $^{x + 4}$ + (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ = $e$ $^{x + 4}$ (3 − $x$ ).

Шаг 3. Найдём критические точки

Экспонента положительна, поэтому критическая точка $x$ = 3.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ применяем следующее правило: для произведения применяется формула (uv)′ = $u$ ′ $v$ + uv′, причём $e$ $^{u}$ > 0 при любом допустимом $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = − $e$ $^{x + 4}$ + (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ = $e$ $^{x + 4}$ (3 − $x$ ).
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ : не применить правило произведения либо забыть знак, возникающий при дифференцировании показателя экспоненты.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 3.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ проверьте допустимые значения: Область определения — все действительные числа.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = − $e$ $^{x + 4}$ + (4 − $x$ ) $e$ $^{x + 4}$ = $e$ $^{x + 4}$ (3 − $x$ ); экспонента положительна, поэтому критическая точка $x$ = 3.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 3; формат ответа — 3.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=(4−x)ex+4.