Задание 67 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = 3 x - 3 \cdot ln (x - 7) - 8$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 933FFF

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 3x − 3ln( $x$ − 7) − 8. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: на (7; 8) производная отрицательна, а при $x$ > 8 положительна.

Ключевая идея: Для функции

y

= 3x − 3ln(

x

− 7) − 8: для данной функции получаем

y

′ = 3 −

\frac{3}{x - 7}

\frac{3 ( x - 8 )}{x - 7}

. Критическая точка:

x

= 8. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 3x - 3ln(x - 7) - 8$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 3x − 3ln( $x$ − 7) − 8. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: на (7; 8) производная отрицательна, а при $x$ > 8 положительна.

Главная формула для этой задачи

y' = 3 - \frac{3}{x - 7} = \frac{3(x - 8)}{x - 7}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 7.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 3 − $\frac{3}{x - 7}$ = $\frac{3 ( x - 8 )}{x - 7}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 8.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

На (7; 8) производная отрицательна, а при $x$ > 8 положительна.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 8.

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 3x − 3ln( $x$ − 7) − 8 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 3 − $\frac{3}{x - 7}$ = $\frac{3 ( x - 8 )}{x - 7}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 3x − 3ln( $x$ − 7) − 8: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «На (7; 8) производная отрицательна, а при $x$ > 8 положительна».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 8.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 3x − 3ln( $x$ − 7) − 8 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 7.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 3 − $\frac{3}{x - 7}$ = $\frac{3 ( x - 8 )}{x - 7}$ ; критическая точка: $x$ = 8.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 8; формат ответа — 8.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=3x−3⋅ln(x−7)−8.