Задание 77 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = ln (x - 7) - 2 x - 3$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D1E7BE

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ln( $x$ − 7) − 2x − 3. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: до этой точки производная положительна, после — отрицательна.

Ключевая идея: Для функции

y

= ln(

x

− 7) − 2x − 3: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{1}{x - 7}

− 2. Из

y

′ = 0 получаем

x

− 7 =

\frac{1}{2}

, то есть

x

\frac{15}{2}

= 7,5. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = \ln(x - 7) - 2x - 3$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = ln( $x$ − 7) − 2x − 3. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: до этой точки производная положительна, после — отрицательна.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{1}{x - 7} - 2

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 7.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{1}{x - 7}$ − 2.

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0 получаем $x$ − 7 = $\frac{1}{2}$ , то есть $x$ = $\frac{15}{2}$ = 7,5.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

До этой точки производная положительна, после — отрицательна.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 7,5.

Ответ:

7{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = ln( $x$ − 7) − 2x − 3 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{1}{x - 7}$ − 2.
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = ln( $x$ − 7) − 2x − 3: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «До этой точки производная положительна, после — отрицательна».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 7,5.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = ln( $x$ − 7) − 2x − 3 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 7.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{1}{x - 7}$ − 2; из $y$ ′ = 0 получаем $x$ − 7 = $\frac{1}{2}$ , то есть $x$ = $\frac{15}{2}$ = 7,5.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 7,5; формат ответа — 7,5.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=ln(x−7)−2x−3.