Задание 90 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = 5 x - ln ((x + 3)^{5}) + 6$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B224D1

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 5x − ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) + 6. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

= 5x − ln((

x

+ 3)

^{5}

) + 6: для данной функции получаем

y

′ = 5 −

\frac{5}{x + 3}

\frac{5 ( x + 2 )}{x + 3}

. Критическая точка:

x

= −2. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 5x - \ln((x + 3)^{5}) + 6$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 5x − ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) + 6. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 5 - \frac{5}{x + 3} = \frac{5(x + 2)}{x + 3}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > −3; ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) = 5ln( $x$ + 3).

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 5 − $\frac{5}{x + 3}$ = $\frac{5 ( x + 2 )}{x + 3}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = −2.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = −2.

Ответ:

-2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 5x − ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) + 6 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 5 − $\frac{5}{x + 3}$ = $\frac{5 ( x + 2 )}{x + 3}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 5x − ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) + 6: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = -2.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 5x − ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) + 6 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > −3; ln(( $x$ + 3) $^{5}$ ) = 5ln( $x$ + 3).
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 5 − $\frac{5}{x + 3}$ = $\frac{5 ( x + 2 )}{x + 3}$ ; критическая точка: $x$ = −2.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = −2; формат ответа — -2.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=5x−ln((x+3)5)+6.