Задание 29 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−5; 14). Найдите количество точек минимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−4; 9].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 4849A6 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4849A6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Для минимума недостаточно посчитать все нули производной. Нужен конкретный переход «−» → «+»: функция до точки убывает, а после неё возрастает. На рисунке внутри заданных границ таких переходов четыре.

Ключевая идея: посчитать на [−4; 9] четыре перехода графика

f

′(

x

) через Ox снизу вверх.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−5; 14).

Нужно найти: количество точек минимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−4; 9].

План решения: Для минимума недостаточно посчитать все нули производной. Нужен конкретный переход «−» → «+»: функция до точки убывает, а после неё возрастает. На рисунке внутри заданных границ таких переходов четыре.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':-\to+,\qquad N=4

Для минимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 4849A6: на отрезке [−4; 9] отмечено 4 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точка минимума функции $f$ ( $x$ ) возникает там, где производная меняет знак с отрицательного на положительный: «−» → «+».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Рассматриваем график $y$ = $f$ ′( $x$ ) только над отрезком [−4; 9] и отмечаем пересечения с осью Ox.

Шаг 3. Проверим смены знака

Среди пересечений выбираем переходы снизу вверх: перед точкой $f$ ′( $x$ ) < 0, после неё $f$ ′( $x$ ) > 0. На заданном отрезке таких переходов четыре.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, функция $f$ ( $x$ ) имеет 4 точки минимума на [−4; 9].

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

В точке минимума производная меняет знак с «−» на «+».
Переход «+» → «−» даёт максимум и в этой задаче не считается.
Знак $f$ ′( $x$ ) читается по положению графика производной ниже или выше оси Ox.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Посчитать все пересечения графика $f$ ′( $x$ ) с осью Ox и получить число всех экстремумов.
Перепутать минимум с максимумом и считать переходы сверху вниз.
Учесть смену знака за пределами отрезка [−4; 9].

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Ограничьте просмотр графика точками −4 и 9.
2У каждого нуля проверьте порядок знаков слева направо.
3Посчитайте только переходы «−» → «+»: их 4.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена