Задание 112 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = 3 cos x - 5 x + 5$ на отрезке $[- \frac{3 π}{2}; 0]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B4B4EA

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 3cos $x$ − 5x + 5 на отрезке [− $\frac{3 π}{2}$ ; 0]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция убывает, поэтому минимум достигается при $x$ = 0.

Ключевая идея: Для функции

y

= 3cos

x

− 5x + 5: для данной функции получаем

y

′ = −3sin

x

− 5. Так как sin

x

≥ −1, то

y

′ ≤ 3 − 5 = −2 < 0. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 3cos x - 5x + 5$ .

Отрезок: $[-\frac{3\pi}{2}\mathbin{;} 0]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 3cos $x$ − 5x + 5 на отрезке [− $\frac{3 π}{2}$ ; 0]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция убывает, поэтому минимум достигается при $x$ = 0.

Главная формула для этой задачи

y' = -3sin x - 5

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

Функция определена на всём отрезке.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = −3sin $x$ − 5.

Шаг 3. Определим знак производной

Так как sin $x$ ≥ −1, то $y$ ′ ≤ 3 − 5 = −2 < 0.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Функция убывает, поэтому минимум достигается при $x$ = 0.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (0) = 3cos 0 + 5 = 8.

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 3cos $x$ − 5x + 5 применяем следующее правило: (sin $x$ )′ = cos $x$ , (cos $x$ )′ = −sin $x$ ; значения синуса и косинуса лежат между −1 и 1.
Для данной функции получаем $y$ ′ = −3sin $x$ − 5.
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 3cos $x$ − 5x + 5: потерять минус в производной cos $x$ или подставить неверное табличное значение синуса или косинуса на конце отрезка.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Функция убывает, поэтому минимум достигается при $x$ = 0».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 8.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 3cos $x$ − 5x + 5 проверьте допустимые значения: Функция определена на всём отрезке.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = −3sin $x$ − 5; так как sin $x$ ≥ −1, то $y$ ′ ≤ 3 − 5 = −2 < 0.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (0) = 3cos 0 + 5 = 8; формат ответа — 8.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=3cosx−5x+5на отрезке [−23π​;0].