Задание 63 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 3, 5 x^{2} - 29 x + 30 \cdot ln x + 67$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 659A4A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 3,5x $^{2}$ − 29x + 30ln $x$ + 67. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в точке $x$ = 2 производная меняет знак с плюса на минус, а в $x$ = $\frac{15}{7}$ — с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

= 3,5x

^{2}

− 29x + 30ln

x

+ 67: для данной функции получаем

y

′ = 7x − 29 +

\frac{30}{x}

\frac{( 7 x - 15 ) ( x - 2 )}{x}

. Критические точки:

x

= 2 и

x

\frac{15}{7}

. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 3{,}5x^{2} - 29x + 30ln x + 67$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 3,5x $^{2}$ − 29x + 30ln $x$ + 67. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: в точке $x$ = 2 производная меняет знак с плюса на минус, а в $x$ = $\frac{15}{7}$ — с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 7x - 29 + \frac{30}{x} = \frac{(7x - 15)(x - 2)}{x}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 7x − 29 + $\frac{30}{x}$ = $\frac{( 7 x - 15 ) ( x - 2 )}{x}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критические точки: $x$ = 2 и $x$ = $\frac{15}{7}$ .

Шаг 4. Проверим смену знака производной

В точке $x$ = 2 производная меняет знак с плюса на минус, а в $x$ = $\frac{15}{7}$ — с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 3,5x $^{2}$ − 29x + 30ln $x$ + 67 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 7x − 29 + $\frac{30}{x}$ = $\frac{( 7 x - 15 ) ( x - 2 )}{x}$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 3,5x $^{2}$ − 29x + 30ln $x$ + 67: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «В точке $x$ = 2 производная меняет знак с плюса на минус, а в $x$ = $\frac{15}{7}$ — с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 2.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 3,5x $^{2}$ − 29x + 30ln $x$ + 67 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 7x − 29 + $\frac{30}{x}$ = $\frac{( 7 x - 15 ) ( x - 2 )}{x}$ ; критические точки: $x$ = 2 и $x$ = $\frac{15}{7}$ .
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 2; формат ответа — 2.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=3,5x2−29x+30⋅lnx+67.