Задание 89 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 3 + 18 x - x x$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 456BD7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 144

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 3 + 18x − $x$ $x$ . Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Ключевая идея: Для функции

y

= 3 + 18x −

x

x

: для данной функции получаем

y

′ = 18 −

\frac{3}{2}

x

. Из

y

′ = 0 получаем

x

= 12, поэтому

x

= 144. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 3 + 18x - x\sqrt{x}$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 3 + 18x − $x$ $x$ . Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус.

Главная формула для этой задачи

y' = 18 - \frac{3}{2}\sqrt{x}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ ≥ 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 18 − $\frac{3}{2}$ $x$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = 12, поэтому $x$ = 144.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 144.

Ответ:

144

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 3 + 18x − $x$ $x$ применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 18 − $\frac{3}{2}$ $x$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 3 + 18x − $x$ $x$ : считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 144.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 3 + 18x − $x$ $x$ проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ ≥ 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 18 − $\frac{3}{2}$ $x$ ; из $y$ ′ = 0 получаем $x$ = 12, поэтому $x$ = 144.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 144; формат ответа — 144.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=3+18x−xx​.