Задание 109 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = 12 cos x + \frac{45 x}{π} - 4$ на отрезке $[- \frac{2 π}{3}; 0]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: EAD99A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -40

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 12cos $x$ + $\frac{45 x}{π}$ − 4 на отрезке [− $\frac{2 π}{3}$ ; 0]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция возрастает; минимум достигается при $x$ = − $\frac{2 π}{3}$ .

Ключевая идея: Для функции

y

= 12cos

x

\frac{45 x}{π}

− 4: для данной функции получаем

y

′ = −12sin

x

\frac{45}{π}

. На этом отрезке sin

x

≤ 0, поэтому

y

′ > 0. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 12cos x + \frac{45x}{\pi} - 4$ .

Отрезок: $[-\frac{2\pi}{3}\mathbin{;} 0]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 12cos $x$ + $\frac{45 x}{π}$ − 4 на отрезке [− $\frac{2 π}{3}$ ; 0]. Дифференцируем sin $x$ или cos $x$ , а затем используем оценки −1 ≤ sin $x$ ≤ 1 и −1 ≤ cos $x$ ≤ 1 на заданном отрезке. После этого используем знак производной, а не само значение функции: функция возрастает; минимум достигается при $x$ = − $\frac{2 π}{3}$ .

Главная формула для этой задачи

y' = -12sin x + \frac{45}{\pi}

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

Функция определена на всём отрезке.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = −12sin $x$ + $\frac{45}{π}$ .

Шаг 3. Определим знак производной

На этом отрезке sin $x$ ≤ 0, поэтому $y$ ′ > 0.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Функция возрастает; минимум достигается при $x$ = − $\frac{2 π}{3}$ .

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (− $\frac{2 π}{3}$ ) = 12 · (− $\frac{1}{2}$ ) − 30 − 4 = −40.

Ответ:

-40

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 12cos $x$ + $\frac{45 x}{π}$ − 4 применяем следующее правило: (sin $x$ )′ = cos $x$ , (cos $x$ )′ = −sin $x$ ; значения синуса и косинуса лежат между −1 и 1.
Для данной функции получаем $y$ ′ = −12sin $x$ + $\frac{45}{π}$ .
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 12cos $x$ + $\frac{45 x}{π}$ − 4: потерять минус в производной cos $x$ или подставить неверное табличное значение синуса или косинуса на конце отрезка.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Функция возрастает; минимум достигается при $x$ = − $\frac{2 π}{3}$ ».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ -40.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 12cos $x$ + $\frac{45 x}{π}$ − 4 проверьте допустимые значения: Функция определена на всём отрезке.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = −12sin $x$ + $\frac{45}{π}$ ; на этом отрезке sin $x$ ≤ 0, поэтому $y$ ′ > 0.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (− $\frac{2 π}{3}$ ) = 12 · (− $\frac{1}{2}$ ) − 30 − 4 = −40; формат ответа — -40.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=12cosx+π45x​−4на отрезке [−32π​;0].