Задание 121 из 161Экстремумы функций

Линия №9

Найдите наибольшее значение функции $y = ln (8 x) - 8 x + 7$ на отрезке $[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 336660

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = ln(8x) − 8x + 7 на отрезке [ $\frac{1}{16}$ ; $\frac{5}{16}$ ]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому здесь достигается максимум.

Ключевая идея: Для функции

y

= ln(8x) − 8x + 7: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{1}{x}

− 8. Критическая точка:

x

\frac{1}{8}

, она лежит на отрезке. После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = \ln(8x) - 8x + 7$ .

Отрезок: $[\frac{1}{16}\mathbin{;} \frac{5}{16}]$ .

Нужно найти: наибольшее значение функции.

План решения: Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = ln(8x) − 8x + 7 на отрезке [ $\frac{1}{16}$ ; $\frac{5}{16}$ ]. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому здесь достигается максимум.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{1}{x} - 8

После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ > 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{1}{x}$ − 8.

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = $\frac{1}{8}$ , она лежит на отрезке.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому здесь достигается максимум.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ ( $\frac{1}{8}$ ) = ln 1 − 1 + 7 = 6.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = ln(8x) − 8x + 7 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{1}{x}$ − 8.
После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = ln(8x) − 8x + 7: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому здесь достигается максимум».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 6.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Для $y$ = ln(8x) − 8x + 7 проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ > 0.
2
Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{1}{x}$ − 8; критическая точка: $x$ = $\frac{1}{8}$ , она лежит на отрезке.
3
Проверьте заключительный переход: $y$ ( $\frac{1}{8}$ ) = ln 1 − 1 + 7 = 6; формат ответа — 6.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наибольшее значение функцииy=ln(8x)−8x+7на отрезке [161​;165​].