На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−12; 12). Найдите количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−6; 11].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 321FCD — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 321FCD

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Каждый максимум — это смена поведения исходной функции с возрастания на убывание. На графике производной этому соответствует переход через ноль из верхней полуплоскости в нижнюю.

Ключевая идея: посчитать пять переходов

f

′(

x

) через Ox сверху вниз на отрезке [−6; 11].

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−12; 12).

Нужно найти: количество точек максимума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащих отрезку [−6; 11].

План решения: Каждый максимум — это смена поведения исходной функции с возрастания на убывание. На графике производной этому соответствует переход через ноль из верхней полуплоскости в нижнюю.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=0,\qquad f':+\to-,\qquad N=5

Для максимума учитываем только указанное направление смены знака.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 321FCD: на отрезке [−6; 11] отмечено 5 нужных смен знака.

Шаг 1. Вспомним признак нужного экстремума

Точка максимума функции $f$ ( $x$ ) появляется, когда $f$ ′( $x$ ) меняет знак с «+» на «−».

Шаг 2. Ограничим график заданным отрезком

Выделяем участок графика производной над отрезком [−6; 11] и рассматриваем его пересечения с осью Ox.

Шаг 3. Проверим смены знака

Слева направо пять пересечений проходят сверху вниз: перед каждым из них $f$ ′( $x$ ) > 0, после — $f$ ′( $x$ ) < 0. Переходы снизу вверх не считаем.

Шаг 4. Посчитаем подходящие переходы

Следовательно, на [−6; 11] функция $f$ ( $x$ ) имеет 5 точек максимума.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

У максимума слева $f$ ′( $x$ ) > 0, а справа $f$ ′( $x$ ) < 0.
Минимумы соответствуют обратному переходу и не входят в ответ.
Вершины графика производной сами по себе не являются точками максимума $f$ ( $x$ ).