Задание 62 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 15 + 24 x - x x$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A3D342

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 256

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 15 + 24x − $x$ $x$ . Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: до $x$ = 256 производная положительна, после — отрицательна, значит здесь максимум.

Ключевая идея: Для функции

y

= 15 + 24x −

x

x

: для данной функции получаем

y

′ = 24 −

\frac{3}{2}

x

. Из

y

′ = 0:

x

= 16, откуда

x

= 256. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 15 + 24x - x\sqrt{x}$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 15 + 24x − $x$ $x$ . Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: до $x$ = 256 производная положительна, после — отрицательна, значит здесь максимум.

Главная формула для этой задачи

y' = 24 - \frac{3}{2}\sqrt{x}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ ≥ 0; $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ .

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 24 − $\frac{3}{2}$ $x$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0: $x$ = 16, откуда $x$ = 256.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

До $x$ = 256 производная положительна, после — отрицательна, значит здесь максимум.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 256.

Ответ:

256

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 15 + 24x − $x$ $x$ применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 24 − $\frac{3}{2}$ $x$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 15 + 24x − $x$ $x$ : считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «До $x$ = 256 производная положительна, после — отрицательна, значит здесь максимум».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 256.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 15 + 24x − $x$ $x$ проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ ≥ 0; $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ .
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 24 − $\frac{3}{2}$ $x$ ; из $y$ ′ = 0: $x$ = 16, откуда $x$ = 256.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 256; формат ответа — 256.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=15+24x−xx​.