Задание 111 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = x x - 6 x + 3$ на отрезке $[0; 40]$

Оригинальная формула к заданию 9 ЕГЭ ФИПИ BEB5E7 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: BEB5E7

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -29

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = $x$ $x$ − 6x + 3 на отрезке [0; 40]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум достигается при $x$ = 16.

Ключевая идея: Для функции

y

x

x

− 6x + 3: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{3}{2}

x

− 6. Критическая точка:

x

= 4, то есть

x

= 16. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x\sqrt{x} - 6x + 3$ .

Отрезок: $[0\mathbin{;} 40]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = $x$ $x$ − 6x + 3 на отрезке [0; 40]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум достигается при $x$ = 16.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 6

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ ≥ 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 6.

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 4, то есть $x$ = 16.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум достигается при $x$ = 16.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (16) = 16 · 4 − 6 · 16 + 3 = −29.

Ответ:

-29

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $x$ − 6x + 3 применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 6.
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $x$ − 6x + 3: считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум достигается при $x$ = 16».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ -29.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $x$ − 6x + 3 проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ ≥ 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 6; критическая точка: $x$ = 4, то есть $x$ = 16.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (16) = 16 · 4 − 6 · 16 + 3 = −29; формат ответа — -29.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=xx​−6x+3на отрезке [0;40].