Задание 17 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер C0261C — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C0261C

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно читать вертикальное значение графика производной в каждой отмеченной абсциссе. Только $x_{5}$ и $x_{6}$ попадают на участок ниже нулевой линии, а значит, только там исходная функция убывает.

Ключевая идея: отобрать

x_{5}

x_{6}

, для которых

f

′(

x

ᵢ) < 0.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: Нужно читать вертикальное значение графика производной в каждой отмеченной абсциссе. Только $x_{5}$ и $x_{6}$ попадают на участок ниже нулевой линии, а значит, только там исходная функция убывает.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)<0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ ниже }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче C0261C: цветом отмечены x₅, x₆; всего 2.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

По условию изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ). Функция $f$ ( $x$ ) убывает при отрицательной производной: $f$ ′( $x$ ) < 0.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Сравниваем положение графика с осью Ox в семи отмеченных точках. Ниже оси он расположен при $x_{5}$ и $x_{6}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

В точках $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ и $x_{7}$ значение производной неотрицательно или положительно, поэтому они не принадлежат промежуткам убывания.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Подходящих отмеченных точек 2: $x_{5}$ и $x_{6}$ .

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Условие убывания функции: $f$ ′( $x$ ) < 0.
Для графика $y$ = $f$ ′( $x$ ) знак производной определяется положением относительно оси Ox.
Если график $f$ ′( $x$ ) идёт вниз, но остаётся выше Ox, исходная функция всё равно возрастает.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять убывающую ветвь самого графика производной за промежуток убывания $f$ ( $x$ ).
Включить $x_{4}$ : график проходит через ось рядом, но в отмеченной точке значение не отрицательно.
Не включить $x_{6}$ , потому что он расположен близко к следующему пересечению с Ox.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для каждого $x$ ᵢ проведите мысленную вертикаль до графика $f$ ′( $x$ ).
2Оставьте точки, где полученная ордината ниже нуля.
3Сверьте результат: $x_{5}$ , $x_{6}$ — всего 2.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена