Задание 28 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ )?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 97B55A — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 97B55A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

На графике производной положительный знак читается по положению над осью Ox. Даже если ветвь $f$ ′( $x$ ) в какой-то точке опускается, функция $f$ ( $x$ ) продолжает возрастать, пока сама производная остаётся положительной.

Ключевая идея: посчитать

x_{1}

x_{2}

x_{4}

x_{6}

, расположенные на положительных участках

f

′(

x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ , $x_{9}$ .

Нужно найти: сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f$ ( $x$ ).

План решения: На графике производной положительный знак читается по положению над осью Ox. Даже если ветвь $f$ ′( $x$ ) в какой-то точке опускается, функция $f$ ( $x$ ) продолжает возрастать, пока сама производная остаётся положительной.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_i)>0\;\Longleftrightarrow\;\text{график }f'\text{ выше }Ox

Проверяем условие отдельно в каждой отмеченной точке и считаем только подходящие точки.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 97B55A: цветом отмечены x₁, x₂, x₄, x₆; всего 4.

Шаг 1. Свяжем знак производной с рисунком

Функция $f$ ( $x$ ) возрастает в тех отмеченных точках, где $f$ ′( $x$ ) > 0, то есть график производной расположен выше оси Ox.

Шаг 2. Проверим отмеченные точки

Проверяем девять отмеченных абсцисс. Выше оси находятся точки графика с абсциссами $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{4}$ и $x_{6}$ .

Шаг 3. Исключим неподходящие точки

При $x_{3}$ , $x_{5}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ и $x_{9}$ значение производной отрицательно, поэтому эти точки относятся к промежуткам убывания.

Шаг 4. Посчитаем выбранные точки

Промежуткам возрастания принадлежат 4 точки.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Признак возрастания функции: $f$ ′( $x$ ) > 0.
На рисунке $y$ = $f$ ′( $x$ ) область над осью Ox соответствует положительной производной.
Наклон графика производной показывает изменение $f$ ′( $x$ ), но не знак монотонности $f$ ( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать точки на восходящих участках кривой $f$ ′( $x$ ), даже если кривая ниже Ox.
Пропустить $x_{2}$ или $x_{6}$ из-за нисходящего наклона самого графика производной.
Включить $x_{5}$ : в этой точке график $f$ ′( $x$ ) ниже нулевой линии.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проведите вертикаль от каждого $x$ ᵢ до графика производной.
2Оставьте точки с положительной ординатой: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{4}$ , $x_{6}$ .
3Проверьте количество: 4.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена