Задание 100 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наибольшее значение функции $y = 7 + 12 x - 4 x x$ на отрезке $[0; 12]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8151AA

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 23

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 7 + 12x − 4x $x$ на отрезке [0; 12]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому максимум достигается при $x$ = 4.

Ключевая идея: Для функции

y

= 7 + 12x − 4x

x

: для данной функции получаем

y

′ = 12 − 6

x

. Критическая точка:

x

= 2, то есть

x

= 4. После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 7 + 12x - 4x\sqrt{x}$ .

Отрезок: $[0\mathbin{;} 12]$ .

Нужно найти: наибольшее значение функции.

План решения: Нужно найти наибольшее значение функции на отрезке для функции $y$ = 7 + 12x − 4x $x$ на отрезке [0; 12]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с плюса на минус, поэтому максимум достигается при $x$ = 4.

Главная формула для этой задачи

y' = 12 - 6\sqrt{x}

После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ ≥ 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 12 − 6 $x$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 2, то есть $x$ = 4.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому максимум достигается при $x$ = 4.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (4) = 7 + 48 − 4 · 8 = 23.

Ответ:

23

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 7 + 12x − 4x $x$ применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 12 − 6 $x$ .
После определения точки максимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 7 + 12x − 4x $x$ : считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому максимум достигается при $x$ = 4».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ 23.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 7 + 12x − 4x $x$ проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ ≥ 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 12 − 6 $x$ ; критическая точка: $x$ = 2, то есть $x$ = 4.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (4) = 7 + 48 − 4 · 8 = 23; формат ответа — 23.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наибольшее значение функцииy=7+12x−4xx​на отрезке [0;12].