Задание 27 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащую отрезку [1; 6].

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер B81155 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B81155

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Недостаточно заметить, что $f$ ′(4) = 0: нужно проверить знак по обе стороны. Переход с положительного знака на отрицательный подтверждает локальный максимум, а значит и искомый экстремум.

Ключевая идея: в точке

x

= 4 производная меняет знак с «+» на «−».

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−4; 8).

Нужно найти: точку экстремума функции $f$ ( $x$ ), принадлежащую отрезку [1; 6].

План решения: Недостаточно заметить, что $f$ ′(4) = 0: нужно проверить знак по обе стороны. Переход с положительного знака на отрицательный подтверждает локальный максимум, а значит и искомый экстремум.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x_*)=0,\qquad f':+\to-,\qquad x_*=4

Смена знака производной с плюса на минус означает переход функции от возрастания к убыванию.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче B81155: при x = 4 производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 1. Вспомним признак экстремума

Точка экстремума функции $f$ ( $x$ ) возникает в нуле производной, где $f$ ′( $x$ ) меняет знак.

Шаг 2. Найдём нуль производной

На отрезке [1; 6] график $y$ = $f$ ′( $x$ ) пересекает ось Ox при $x$ = 4.

Шаг 3. Проверим знаки слева и справа

Слева от $x$ = 4 производная положительна, а справа отрицательна: $f$ ′( $x$ ) меняет знак с «+» на «−». Значит, при $x$ = 4 функция переходит от возрастания к убыванию.

Шаг 4. Запишем абсциссу точки

Единственная точка экстремума на отрезке имеет абсциссу $x$ = 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Необходимый признак экстремума: $f$ ′( $x$ ) меняет знак при переходе через рассматриваемую точку.
Смена «+» → «−» означает локальный максимум функции $f$ ( $x$ ).
Смена «−» → «+» означала бы локальный минимум.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать вершину графика производной вместо его нуля.
Назвать любой нуль $f$ ′( $x$ ) экстремумом, не проверив знаки слева и справа.
Рассматривать пересечение вне отрезка [1; 6].

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Найдите пересечения $f$ ′( $x$ ) с Ox внутри [1; 6].
2Проверьте знаки: слева «+», справа «−».
3Запишите абсциссу единственной точки: 4.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [1; 6].