Задание 81 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите наименьшее значение функции $y = x x - 9 x + 25$ на отрезке $[1; 50]$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 221C18

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -83

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = $x$ $x$ − 9x + 25 на отрезке [1; 50]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум на отрезке достигается при $x$ = 36.

Ключевая идея: Для функции

y

x

x

− 9x + 25: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{3}{2}

x

− 9. Критическая точка:

x

= 6, то есть

x

= 36. После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение

y

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = x\sqrt{x} - 9x + 25$ .

Отрезок: $[1\mathbin{;} 50]$ .

Нужно найти: наименьшее значение функции.

План решения: Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке для функции $y$ = $x$ $x$ − 9x + 25 на отрезке [1; 50]. Учитываем $x$ ≥ 0 и переписываем $x$ $x$ как $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , чтобы применить степенное правило без потери коэффициента $\frac{3}{2}$ . После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум на отрезке достигается при $x$ = 36.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9

После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение y.

Шаг 1. Учтём отрезок и область определения

На отрезке $x$ ≥ 0.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 9.

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 6, то есть $x$ = 36.

Шаг 4. Определим положение искомого значения

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум на отрезке достигается при $x$ = 36.

Шаг 5. Вычислим значение функции

$y$ (36) = 36 · 6 − 9 · 36 + 25 = −83.

Ответ:

-83

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = $x$ $x$ − 9x + 25 применяем следующее правило: при $x$ ≥ 0 выражение $x$ $x$ равно $x$ $^{\frac{3}{2}}$ , а его производная равна $(\frac{3}{2})$ $x$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 9.
После определения точки минимума или нужного конца отрезка необходимо подставить найденную абсциссу в исходную функцию и записать значение $y$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = $x$ $x$ − 9x + 25: считать, что ( $x$ $x$ )′ = $x$ : при записи $x$ $x$ = $x$ $^{\frac{3}{2}}$ обязательно появляется коэффициент $\frac{3}{2}$ .
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому минимум на отрезке достигается при $x$ = 36».
Остановиться на найденной абсциссе и записать её вместо значения функции; после подстановки должен получиться ответ -83.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = $x$ $x$ − 9x + 25 проверьте допустимые значения: На отрезке $x$ ≥ 0.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{3}{2}$ $x$ − 9; критическая точка: $x$ = 6, то есть $x$ = 36.
3Проверьте заключительный переход: $y$ (36) = 36 · 6 − 9 · 36 + 25 = −83; формат ответа — -83.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите наименьшее значение функцииy=xx​−9x+25на отрезке [1;50].