Задание 85 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку минимума функции $y = 10 x - ln (x - 5) + 3$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DF872D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5,1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 10x − ln( $x$ − 5) + 3. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс.

Ключевая идея: Для функции

y

= 10x − ln(

x

− 5) + 3: для данной функции получаем

y

′ = 10 −

\frac{1}{x - 5}

. Из

y

′ = 0 получаем

x

− 5 =

\frac{1}{10}

, то есть

x

\frac{51}{10}

= 5,1. Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 10x - \ln(x - 5) + 3$ .

Нужно найти: точку минимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки минимума для функции $y$ = 10x − ln( $x$ − 5) + 3. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная меняет знак с минуса на плюс.

Главная формула для этой задачи

y' = 10 - \frac{1}{x - 5}

Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 5.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = 10 − $\frac{1}{x - 5}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Из $y$ ′ = 0 получаем $x$ − 5 = $\frac{1}{10}$ , то есть $x$ = $\frac{51}{10}$ = 5,1.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная меняет знак с минуса на плюс.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка минимума: $x$ = 5,1.

Ответ:

5{,}1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 10x − ln( $x$ − 5) + 3 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = 10 − $\frac{1}{x - 5}$ .
Для минимума производная должна сменить знак с минуса на плюс; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 10x − ln( $x$ − 5) + 3: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная меняет знак с минуса на плюс».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 5,1.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 10x − ln( $x$ − 5) + 3 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 5.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = 10 − $\frac{1}{x - 5}$ ; из $y$ ′ = 0 получаем $x$ − 5 = $\frac{1}{10}$ , то есть $x$ = $\frac{51}{10}$ = 5,1.
3Проверьте заключительный переход: Точка минимума: $x$ = 5,1; формат ответа — 5,1.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку минимума функцииy=10x−ln(x−5)+3.