Задание 75 из 125Экстремумы функций

Линия №9 · Повышенный уровень

Найдите точку максимума функции $y = 10 \cdot ln (x - 2) - 10 x + 11$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1E41B2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 10ln( $x$ − 2) − 10x + 11. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная положительна на (2; 3) и отрицательна при $x$ > 3.

Ключевая идея: Для функции

y

= 10ln(

x

− 2) − 10x + 11: для данной функции получаем

y

′ =

\frac{10}{x - 2}

− 10 =

\frac{10 ( 3 - x )}{x - 2}

. Критическая точка:

x

= 3. Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Последовательно исследуем данную функцию: учитываем область определения, вычисляем производную, определяем её знак и записываем именно ту величину, которая требуется в условии.

Дано:

Функция: $y = 10ln(x - 2) - 10x + 11$ .

Нужно найти: точку максимума функции.

План решения: Нужно найти абсциссу точки максимума для функции $y$ = 10ln( $x$ − 2) − 10x + 11. Сначала выписываем ОДЗ логарифма, затем используем правило (ln $u$ )′ = $u$ ′/ $u$ и приводим производную к виду, удобному для исследования знака. После этого используем знак производной, а не само значение функции: производная положительна на (2; 3) и отрицательна при $x$ > 3.

Главная формула для этой задачи

y' = \frac{10}{x - 2} - 10 = \frac{10(3 - x)}{x - 2}

Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Шаг 1. Определим область допустимых значений

ОДЗ: $x$ > 2.

Шаг 2. Вычислим производную

Найдём производную: $y$ ′ = $\frac{10}{x - 2}$ − 10 = $\frac{10 ( 3 - x )}{x - 2}$ .

Шаг 3. Найдём критические точки

Критическая точка: $x$ = 3.

Шаг 4. Проверим смену знака производной

Производная положительна на (2; 3) и отрицательна при $x$ > 3.

Шаг 5. Запишем абсциссу

Точка максимума: $x$ = 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для функции $y$ = 10ln( $x$ − 2) − 10x + 11 применяем следующее правило: логарифм определён только при положительном аргументе; производная ln $u$ равна $u$ ′/ $u$ .
Для данной функции получаем $y$ ′ = $\frac{10}{x - 2}$ − 10 = $\frac{10 ( 3 - x )}{x - 2}$ .
Для максимума производная должна сменить знак с плюса на минус; в ответ записывается абсцисса этой точки.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

При работе именно с $y$ = 10ln( $x$ − 2) − 10x + 11: не учесть одз логарифма или забыть производную его аргумента, из-за чего появляются недопустимые критические точки.
Остановиться после нахождения критических точек и не проверить знак производной: здесь необходимо использовать вывод «Производная положительна на (2; 3) и отрицательна при $x$ > 3».
Вычислить значение функции в найденной точке и записать его вместо абсциссы; в этой задаче ответом является $x$ = 3.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для $y$ = 10ln( $x$ − 2) − 10x + 11 проверьте допустимые значения: ОДЗ: $x$ > 2.
2Сверьте производную и ключевые точки: $y$ ′ = $\frac{10}{x - 2}$ − 10 = $\frac{10 ( 3 - x )}{x - 2}$ ; критическая точка: $x$ = 3.
3Проверьте заключительный переход: Точка максимума: $x$ = 3; формат ответа — 3.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите точку максимума функцииy=10⋅ln(x−2)−10x+11.