Задание 3 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наименьшее? В ответе укажите эту точку.

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер F1BDF1 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F1BDF1

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Численное значение производной вычислять не нужно: сравниваются углы наклона касательных. Самой маленькой производной соответствует наиболее крутой наклон графика вниз слева направо.

Ключевая идея: выбрать точку, в которой касательная имеет наибольший отрицательный наклон.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график функции $y$ = $f$ ( $x$ ). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4.

Нужно найти: в какой из этих точек значение производной функции $f$ ( $x$ ) наименьшее? В ответе укажите эту точку.

План решения: Численное значение производной вычислять не нужно: сравниваются углы наклона касательных. Самой маленькой производной соответствует наиболее крутой наклон графика вниз слева направо.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)=k_{\text{касательной}},\qquad \min f'(x)\;\Longleftrightarrow\;x=4

Сравниваем не высоты точек графика, а угловые коэффициенты касательных в указанных абсциссах.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче F1BDF1: среди точек −2, −1, 3, 4 выделена точка 4 — самый крутой спуск.

Шаг 1. Переведём задачу на язык наклонов

Значение $f$ ′( $x$ ) показывает наклон касательной к графику $y$ = $f$ ( $x$ ): чем сильнее касательная направлена вниз, тем меньше производная.

Шаг 2. Сравним указанные точки

Сравниваем наклон графика только при $x$ = −2, −1, 3 и 4. В точках −1 и 3 график возрастает или почти горизонтален, поэтому там производная не является наименьшей.

Шаг 3. Выберем предельный наклон

При $x$ = −2 наклон вниз меньше по модулю, чем при $x$ = 4. Около $x$ = 4 график убывает наиболее круто, поэтому $f$ ′(4) — самое отрицательное из четырёх значений.

Шаг 4. Запишем нужную абсциссу

Наименьшее значение производной достигается в точке $x$ = 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

$f$ ′( $x$ ) — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ .
Положительный наклон даёт $f$ ′( $x$ ) > 0, горизонтальная касательная — $f$ ′( $x$ ) = 0, отрицательный наклон — $f$ ′( $x$ ) < 0.
Из отрицательных производных меньше та, которая сильнее удалена от нуля.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сравнивать высоты $f$ (−2), $f$ (−1), $f$ (3), $f$ (4) вместо наклонов графика.
Выбрать $x$ = −1 из-за низкого положения графика: значение функции не определяет значение производной.
Принять почти горизонтальный участок при $x$ = 3 за самый маленький наклон, не учитывая отрицательную производную при $x$ = 4.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Мысленно проведите касательную в каждой из четырёх указанных точек.
2Сначала отделите точки с отрицательным наклоном от точек с неотрицательным.
3Среди отрицательных наклонов выберите самый крутой: он наблюдается при $x$ = 4.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена