Задание 52 из 125Производная и её применение

Линия №9 · Базовый уровень

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−5; −2] функция $f$ ( $x$ ) принимает наименьшее значение?

График к заданию 9 ЕГЭ по профильной математике из ФИПИ, номер 4DB285 — Оригинальная запись формул из условия задания №9 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4DB285

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

На внутренней части отрезка производная положительна, а в правом конце равна нулю, поэтому при движении вправо значения $f$ ( $x$ ) увеличиваются. Минимальное значение находится в начальной, левой точке.

Ключевая идея:

f

′(

x

) ≥ 0 на [−5; −2], поэтому минимум возрастающей функции находится при

x

= −5.

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно этот график: что на нём нужно прочитать, какое правило применить и почему получается ответ.

Дано:

На рисунке изображён график $y$ = $f$ ′( $x$ ) — производной функции $f$ ( $x$ ), определённой на интервале (−6; 5).

Нужно найти: в какой точке отрезка [−5; −2] функция $f$ ( $x$ ) принимает наименьшее значение.

План решения: На внутренней части отрезка производная положительна, а в правом конце равна нулю, поэтому при движении вправо значения $f$ ( $x$ ) увеличиваются. Минимальное значение находится в начальной, левой точке.

Поясняющая формула для этой задачи

f'(x)>0\;\Longrightarrow\;f(x)\nearrow,\qquad x_{\text{ответ}}=-5

После определения монотонности выбираем левый или правый конец отрезка в соответствии с вопросом.

Поясняющий рисунокСхема чтения графика для этой задачи

Схема к задаче 4DB285: функция возрастает, поэтому минимум достигается при x = −5.

Шаг 1. Определим знак производной

На промежутке [−5; −2) график производной $y$ = $f$ ′( $x$ ) находится выше оси Ox, то есть $f$ ′( $x$ ) > 0; в правом конце производная обращается в ноль.

Шаг 2. Установим монотонность функции

Следовательно, функция $f$ ( $x$ ) возрастает на всём отрезке [−5; −2].

Шаг 3. Выберем нужный конец отрезка

У возрастающей функции наименьшее значение достигается в левом конце отрезка.

Шаг 4. Запишем абсциссу

Левый конец имеет абсциссу $x$ = −5.

Ответ:

-5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Если $f$ ′( $x$ ) > 0 внутри [ $a$ ; $b$ ] и может обращаться в ноль лишь в отдельных точках, функция возрастает на отрезке.
Возрастающая функция принимает минимум в левом конце $a$ и максимум в правом конце $b$ .
В ответе указывается точка $x$ , а не неизвестное численное значение $f$ ( $x$ ).

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать $x$ = −2 как правый конец, забыв, что спрашивается минимум возрастающей функции.
Искать самую низкую точку графика $f$ ′( $x$ ).
Путать положительный знак производной с положительным значением самой функции.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Проверьте: $f$ ′( $x$ ) > 0 на [−5; −2) и $f$ ′(−2) = 0.
2Сделайте вывод: функция $f$ ( $x$ ) возрастает.
3Для минимума выберите левый конец −5.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №9

Все задания линии №9 →

Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂…FIPI ID 71BC43 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID D13540 Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены точки −2, −1, 3, 4. В…FIPI ID F1BDF1 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID A558FE Производная и её применениеНа рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂…FIPI ID 28FA05 Производная и её применениеНа рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀…FIPI ID 57C40E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена