Задание 139 из 161Производная и касательнаяЯщенко · вариант 14

Линия №9

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой $5$ . Найдите значение производной функции в точке $x_{0} = 5$ .

Наклон касательной через начало координат: рисунок к заданию 9 варианта 14 сборника Ященко 2027 — График из сборника Ященко 2027, вариант 14, задание 9

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -0,4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

По условию касательная проходит через начало координат. Её наклон находим по двум точкам: началу координат и точке касания на графике.

Ключевая формула

f'(x_0)=\frac{f(x_0)-0}{x_0-0}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: наклон касательной через начало координат.

План решения: По условию касательная проходит через начало координат. Её наклон находим по двум точкам: началу координат и точке касания на графике.

Шаг 1. Прочитаем точку касания

Абсцисса точки касания равна 5. По горизонтальной линии сетки определяем её ординату: f(5) = -2.

A(5;-2)

Шаг 2. Запишем вторую точку касательной

Из условия известно, что та же прямая проходит через начало координат. Это позволяет найти её наклон, даже если сама прямая не проведена на рисунке.

O(0;0)

Шаг 3. Вычислим угловой коэффициент

Делим изменение ординаты на изменение абсциссы.

k=\frac{-2-0}{5-0}=\frac{-2}{5}=-0{,}4

Шаг 4. Запишем производную

По геометрическому смыслу производной она равна угловому коэффициенту касательной.

f'(5)=-0{,}4

Ответ:

-0{,}4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
По условию касательная проходит через начало координат. Её наклон находим по двум точкам: началу координат и точке касания на графике.
$f'(x_0)=\frac{f(x_0)-0}{x_0-0}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Частая ошибка
Не принимайте ординату точки за производную. Нужно разделить её на абсциссу, поскольку касательная проходит через начало координат.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Проверка данных
Сопоставьте обозначения и все числовые данные решения с условием и рисунком.
Проверка результата
Убедитесь, что найдено именно то, что требуется: координата, количество точек, сумма или скорость.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена