Задание 131 из 161Производная и экстремумыЯщенко · вариант 6

Линия №9

На рисунке изображён график $y = f^{'} (x)$ — производной функции $f (x)$ , определённой на интервале $(- 9; 10)$ . Найдите количество точек экстремума функции $f (x)$ , принадлежащих отрезку $[- 7; 7]$ .

Количество точек экстремума на отрезке: рисунок к заданию 9 варианта 6 сборника Ященко 2027 — График из сборника Ященко 2027, вариант 6, задание 9

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Экстремум f возникает в каждом месте, где производная меняет знак. Учитываем как переходы с минуса на плюс, так и с плюса на минус.

Ключевая формула

\begin{gathered}f'(x):\ -\to+\\\text{или}\ +\to-\end{gathered}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: количество точек экстремума на отрезке.

План решения: Экстремум f возникает в каждом месте, где производная меняет знак. Учитываем как переходы с минуса на плюс, так и с плюса на минус.

Шаг 1. Уточним, что изображено

На рисунке дан график f′, а требуется количество экстремумов f. Значит, ищем смену знака производной, а не её собственные вершины.

f'(x)=0

Шаг 2. Найдём переходы внутри отрезка

На отрезке [−7; 7] кривая пересекает ось в точках x = −6, x = −1 и ещё два раза возле небольшого положительного выступа: один раз между 2 и 3, другой — между 3 и 4.

\begin{gathered}-6,\quad-1\\x_3\in(2;3),\quad x_4\in(3;4)\end{gathered}

Шаг 3. Проверим смену знака

Все четыре пересечения сопровождаются сменой знака. Два перехода дают минимумы, два — максимумы. Пересечение правее 7 не входит в заданный отрезок.

N_{\min}=2,\quad N_{\max}=2

Шаг 4. Найдём общее количество

Складываем количество минимумов и максимумов.

N=2+2=4

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
Экстремум f возникает в каждом месте, где производная меняет знак. Учитываем как переходы с минуса на плюс, так и с плюса на минус.
$\begin{gathered}f'(x):\ -\to+\\\text{или}\ +\to-\end{gathered}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Частая ошибка
Не считайте вершины графика производной: экстремумы исходной функции определяются сменой знака производной при переходе через ось Ox.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Проверка данных
Сопоставьте обозначения и все числовые данные решения с условием и рисунком.
Проверка результата
Убедитесь, что найдено именно то, что требуется: координата, количество точек, сумма или скорость.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена