Задание 144 из 161Производная и касательнаяЯщенко · вариант 19

Линия №9

Прямая $y = - 6 x + 15$ является касательной к графику функции $y = x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 6$ . Найдите абсциссу точки касания.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В точке касания совпадают и наклоны, и значения прямой и функции. Сначала найдём кандидатов из равенства производной наклону −6, затем проверим принадлежность заданной прямой.

Ключевая формула

f'(x_0)=-6

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: абсцисса точки касания кубической функции.

План решения: В точке касания совпадают и наклоны, и значения прямой и функции. Сначала найдём кандидатов из равенства производной наклону −6, затем проверим принадлежность заданной прямой.

Шаг 1. Найдём производную

Дифференцируем многочлен и приравниваем производную угловому коэффициенту заданной прямой.

f'(x)=3x^2+10x-3

3x^2+10x-3=-6

Шаг 2. Найдём кандидатов

Переносим всё в левую часть и раскладываем квадратный трёхчлен на множители.

3x^2+10x+3=0

(3x+1)(x+3)=0

x=-3\quad\text{или}\quad x=-\frac{1}{3}

Шаг 3. Проверим x = −3

Точка должна одновременно лежать на графике функции и на заданной прямой. При x = −3 обе ординаты равны 33.

\begin{gathered}f(-3)=-27+45+9+6\\=33\end{gathered}

-6\cdot(-3)+15=33

Шаг 4. Исключим второго кандидата

При x = −1/3 наклоны равны, но значения функции и заданной прямой различны. Касательная в этой точке только параллельна данной прямой.

f(-1/3)=\frac{203}{27}

-6\cdot(-1/3)+15=17

\frac{203}{27}\ne17

Шаг 5. Запишем абсциссу

Все условия касания выполнены только при x = −3.

x_0=-3

Ответ:

-3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
В точке касания совпадают и наклоны, и значения прямой и функции. Сначала найдём кандидатов из равенства производной наклону −6, затем проверим принадлежность заданной прямой.
$f'(x_0)=-6$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Частая ошибка
Одного равенства производной наклону здесь недостаточно: оно даёт две точки. Обязательно проверьте, что точка находится на конкретной прямой y = −6x + 15.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Проверка данных
Сопоставьте обозначения и все числовые данные решения с условием и рисунком.
Проверка результата
Убедитесь, что найдено именно то, что требуется: координата, количество точек, сумма или скорость.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Прямая y=−6x+15 является касательной к графику функции y=x3+5x2−3x+6. Найдите абсциссу точки касания.