Задание 140 из 161Скорость и производнаяЯщенко · вариант 15

Линия №9

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = - \frac{1}{4} t^{3} + 7 t^{2} - 8 t$ , где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t = 8$ с.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 56

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Мгновенная скорость равна производной координаты по времени. Сначала найдём производную функции x(t), затем подставим нужный момент времени.

Ключевая формула

v(t)=x'(t)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: скорость точки в момент t = 8 с.

План решения: Мгновенная скорость равна производной координаты по времени. Сначала найдём производную функции x(t), затем подставим нужный момент времени.

Шаг 1. Свяжем скорость с координатой

Для нахождения мгновенной скорости дифференцируем заданный закон движения по переменной t.

v(t)=x'(t)

(ct^n)\,{}^{\prime}=cn t^{n-1}

Шаг 2. Найдём производную

Каждое слагаемое дифференцируем отдельно: показатель степени переносится в коэффициент и уменьшается на единицу. Производная постоянного слагаемого равна нулю.

v(t)=-\frac{3}{4}t^2+14t-8

Шаг 3. Подставим время

В полученную формулу скорости подставим t = 8. Все значения считаем точно.

v(8)=-48+112-8=56

Шаг 4. Запишем ответ в нужных единицах

Координата дана в метрах, время — в секундах, значит скорость измеряется в м/с. Полученное значение положительно, поэтому оно равно искомой скорости.

v(8)=56\ \text{м/с}

Ответ:

56

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
Мгновенная скорость равна производной координаты по времени. Сначала найдём производную функции x(t), затем подставим нужный момент времени.
$v(t)=x'(t)$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Частая ошибка
Подставлять время в x(t) вместо x′(t) нельзя: так получится координата, а требуется скорость. Постоянное слагаемое после дифференцирования исчезает.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Проверка данных
Сопоставьте обозначения и все числовые данные решения с условием и рисунком.
Проверка результата
Убедитесь, что найдено именно то, что требуется: координата, количество точек, сумма или скорость.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №9Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена