Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 04850F26 из 150

Четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Все углы ромба равны.

  2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

  3. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 04850F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Все углы ромба равны.
Утверждение 2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Утверждение 3
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Все углы ромба равны.»

У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата. Противоположные углы ромба равны, соседние дополняют друг друга до 180°. Они могут быть разными: острыми и тупыми.

Утверждение 1: контрпример

Ромб с углами 60°, 120°, 60°, 120° удовлетворяет определению ромба, но не имеет четырёх одинаковых углов.

6060+120+120=180∘=180^\circ
60∘≠120∘60^\circ\ne120^\circ

Неверно. Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.

К утверждению 1: контрпример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Любой прямоугольник можно вписать в окружность.»

Около прямоугольника можно описать окружность. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Поэтому их точка пересечения O находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин. Окружность с центром O и этим радиусом проходит через все вершины.

Утверждение 2: поясняющий пример

Для прямоугольника 4×2 все четыре расстояния от O до вершин равны √5.

OAOA=OB=OB
=OC=OC
=OD=OD
=AC2=\frac{AC}{2}
=5=\sqrt{5}

Верно. Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.

К утверждению 2: пример

Прямоугольник со сторонами 4 и 2. Все вершины лежат на окружности с центром O.
Обозначения на чертеже
  • AB = 4; BC = 2
  • AC = BD = 2√5
  • O — середина обеих диагоналей
Прямоугольник со сторонами 4 и 2. Все вершины лежат на окружности с центром O.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.»

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади. Диагональ трапеции образует два треугольника с основаниями, равными разным основаниям трапеции. Их высоты к этим основаниям одинаковы. Поэтому при разных основаниях площади получаются разными, а треугольники не могут быть равны.

Утверждение 3: контрпример

Возьмём трапецию с основаниями AD = 6, BC = 2 и высотой 2. Диагональ AC делит её на треугольники ACD и ABC. Их площади равны 6 и 2.

SACDS_{ACD}=6⋅22=\frac{6\cdot2}{2}
=122=\frac{12}{2}

Считаем числитель: 6⋅2=126\cdot2=12.

=6=6
SABCS_{ABC}=2⋅22=\frac{2\cdot2}{2}
=42=\frac{4}{2}

Считаем числитель: 2⋅2=42\cdot2=4.

=2=2
6≠26\ne2

Неверно. Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.

К утверждению 3: контрпример

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Обозначения на чертеже
  • AD = 6; BC = 2; высота 2
  • Площадь ACD: 6
  • Площадь ABC: 2
Равнобедренная трапеция с разными основаниями.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата.
  • Около прямоугольника можно описать окружность.
  • Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.
  • Здесь прямоугольник вписан в окружность: его вершины лежат на ней. Это отличается от окружности, вписанной в прямоугольник.
  • Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)