Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Диагонали прямоугольной трапеции равны.
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание F34539.
Ответ: 2.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Диагонали прямоугольной трапеции равны.»
Равные диагонали — свойство равнобедренной трапеции, а не любой прямоугольной. У прямоугольной трапеции основания имеют разные длины. Её диагонали становятся гипотенузами прямоугольных треугольников с одинаковой высотой, но разными горизонтальными катетами.
Возьмём основания AD = 4, BC = 2 и высоту AB = 2. Тогда AC² = 2² + 2² = 8, а BD² = 4² + 2² = 20. Квадраты длин разные, значит диагонали не равны.
Неверно. Не переносите свойства равнобедренной трапеции на прямоугольную.
«Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны. Утверждение требует лишь существования хотя бы одного такого прямоугольника. Подходит любой квадрат, поэтому существование доказано.
Возьмём квадрат со стороной 2. Он имеет четыре прямых угла, а диагонали пересекаются под углом 90°.
Верно. Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.
«В тупоугольном треугольнике все углы тупые.»
Тупоугольный треугольник имеет один тупой угол, а два остальных — острые. Два угла больше 90° уже дали бы сумму больше 180°. Поэтому в треугольнике не может быть двух или трёх тупых углов.
Пример тупоугольного треугольника: 120°, 30°, 30°. Только один из этих углов тупой.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Неверно. Слово «тупоугольный» означает наличие одного тупого угла, а не то, что все углы тупые.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 2 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.