ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 7BC75180 из 150

Четырёхугольники и окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Боковые стороны любой трапеции равны.
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7BC751.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Боковые стороны любой трапеции равны.
Утверждение 2: Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
Утверждение 3: Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Боковые стороны любой трапеции равны.»

Равенство боковых сторон — дополнительное свойство равнобедренной трапеции. Определение обычной трапеции требует параллельности оснований, но не равенства боковых сторон. Поэтому у произвольной трапеции они могут различаться.

Утверждение 1: контрпример

У прямоугольной трапеции с высотой 2 и разностью оснований 2 одна боковая сторона равна 2, другая — гипотенуза с катетами 2 и 2, то есть 2√2.

AB

=2

CD

=\sqrt{2^2+2^2}

=2\sqrt{2}

2\ne2\sqrt{2}

Неверно. Верно лишь для равнобедренной трапеции, а не для любой.

Утверждение 2: разбираем правило

«Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.»

Из точки вне окружности к ней можно провести ровно две касательные. Точка вне окружности находится от центра дальше радиуса. Существуют две точки касания по разные стороны прямой, соединяющей данную точку с центром. Радиусы к точкам касания перпендикулярны соответствующим касательным.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме P — внешняя точка, A и B — точки касания. Прямые PA и PB различны, обе касаются окружности в одной точке.

OA\perp PA,\quad OB\perp PB

PA

=PB

Верно. Условие «вне окружности» существенно: из точки на окружности проводится одна касательная, из внутренней точки — ни одной.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.»

Квадрат — ромб, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей. В утверждении забыто деление на 2. Произведение диагоналей квадрата вдвое больше его площади.

Утверждение 3: контрпример

У квадрата со стороной 2 площадь 4. Каждая диагональ равна 2√2, их произведение равно 8.

S

=2^2

=4

2\sqrt{2}

\cdot2\sqrt{2}

=8

4\ne8

Неверно. Правильно: $S=\dfrac{d_1d_2}{2}=\dfrac{d^2}{2}$ .

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равенство боковых сторон — дополнительное свойство равнобедренной трапеции.
Из точки вне окружности к ней можно провести ровно две касательные.
Квадрат — ромб, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Верно лишь для равнобедренной трапеции, а не для любой.
Условие «вне окружности» существенно: из точки на окружности проводится одна касательная, из внутренней точки — ни одной.
Правильно: $S=\dfrac{d_1d_2}{2}=\dfrac{d^2}{2}$ .
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и окружности