ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ FD1E8F141 из 150

Треугольники, окружности, четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Все диаметры окружности равны между собой.
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание FD1E8F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Утверждение 2: Все диаметры окружности равны между собой.
Утверждение 3: Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер. Увеличение треугольника сохраняет все углы, но меняет длины сторон. Поэтому два треугольника с одинаковыми углами могут иметь разные размеры и не быть равными.

Утверждение 1: контрпример

У равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 все углы по 60°. Однако сторона 2 не равна стороне 3, значит треугольники не равны.

60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ

2\ne3

Неверно. Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Утверждение 2: разбираем правило

«Все диаметры окружности равны между собой.»

Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.

Утверждение 2: поясняющий пример

Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.

d

=R

+R

=2R

1

+1

=2

Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.»

В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна $S=\frac12d_1d_2\sin\varphi$ , где φ — угол между ними. Половины произведения диагоналей достаточно только при их перпендикулярности, когда sin φ = 1. Для произвольного параллелограмма этот дополнительный множитель пропускать нельзя.

Утверждение 3: контрпример

У прямоугольника 4×2 площадь равна 8. Обе диагонали равны √20, поэтому половина их произведения равна 10, а не 8.

S

=4

\cdot2

=8

\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}{2}

=\frac{20}{2}

Считаем числитель: $\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}=20$ .

=10

8\ne10

Неверно. Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равенство соответствующих углов обеспечивает подобие, но не одинаковый размер.
Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов.
В общем случае площадь параллелограмма по диагоналям равна $S=\frac12d_1d_2\sin\varphi$ , где φ — угол между ними.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Правильный вывод — треугольники подобны. Чтобы они были равны, коэффициент подобия должен быть 1.
Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
Формула половины произведения диагоналей подходит ромбу, но не любому параллелограмму.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники, окружности, четырёхугольники