ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ B1170928 из 150

Четырёхугольники, треугольники, окружности

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B11709.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 3.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
Утверждение 2: Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
Утверждение 3: Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.»

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади. Диагональ трапеции образует два треугольника с основаниями, равными разным основаниям трапеции. Их высоты к этим основаниям одинаковы. Поэтому при разных основаниях площади получаются разными, а треугольники не могут быть равны.

Утверждение 1: контрпример

Возьмём трапецию с основаниями AD = 6, BC = 2 и высотой 2. Диагональ AC делит её на треугольники ACD и ABC. Их площади равны 6 и 2.

S_{ACD}

=\frac{6\cdot2}{2}

=\frac{12}{2}

Считаем числитель: $6\cdot2=12$ .

=6

S_{ABC}

=\frac{2\cdot2}{2}

=\frac{4}{2}

Считаем числитель: $2\cdot2=4$ .

=2

6\ne2

Неверно. Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.»

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. В утверждении числитель и знаменатель переставлены местами. Гипотенуза длиннее катета, поэтому предлагаемое отношение было бы больше 1, а косинус острого угла находится между 0 и 1.

Утверждение 2: контрпример

В треугольнике с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 для угла при A прилежащий катет AC = 4. Косинус равен 4/5, а не 5/4.

\cos A

=\frac{4}{5}

=0{,}8

\frac{5}{4}

=1{,}25

Неверно. Запоминайте порядок: катет в числителе, гипотенуза в знаменателе.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Утверждение 3: разбираем правило

«Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.»

Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра. Если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Расстояние между O и A равно длине этого отрезка, то есть R. Это следует из определения окружности.

Утверждение 3: поясняющий пример

На схеме все точки окружности, включая A, находятся от O на расстоянии R.

A\in\omega\ \Longrightarrow\ OA

=R

Верно. Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Неверно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Верно
Ответ	3

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равные треугольники должны иметь одинаковые соответствующие стороны и площади.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Такое свойство есть у диагонали параллелограмма. Переносить его на трапецию нельзя.
Запоминайте порядок: катет в числителе, гипотенуза в знаменателе.
Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники, треугольники, окружности