Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 01192A.
Ответ: 1.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.»
Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD. Это свойство верно у каждого прямоугольника независимо от отношения его сторон.
На схеме точка O — общая середина обеих диагоналей.
Верно. Кроме деления пополам, у прямоугольника диагонали ещё и равны, но для данного утверждения достаточно первого свойства.
«Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.»
Точка пересечения окружностей находится от каждого центра на расстоянии радиуса соответствующей окружности. Если радиусы разные, эти расстояния разные. Наличие общей точки не требует равенства радиусов.
Пусть окружности радиусов 3 и 2 пересекаются в X. Тогда OX = 3, PX = 2, так что X не равноудалена от O и P.
Неверно. Равноудалённость верна для точки пересечения окружностей равных радиусов. В условии такого ограничения нет.
«Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.»
Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на соответствующую высоту: S = ah. Соседняя наклонная сторона обычно не равна высоте. Произведение соседних сторон даёт площадь только при прямом угле между ними. Для общего случая нужно учитывать синус угла.
У параллелограмма со сторонами 4 и 2 и углом 30° высота к стороне 4 равна 1. Поэтому площадь 4, а произведение сторон 8.
Неверно. Правильно: , либо основание на высоту.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 1 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.