ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ DC9A7538 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание DC9A75.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Утверждение 2: Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
Утверждение 3: Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Её длина находится по формуле (a + b)/2 — именно это называется полусуммой.

Утверждение 1: поясняющий пример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4.

m

=\frac{a+b}{2}

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

Верно. Утверждение совпадает с теоремой о средней линии трапеции.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.»

Равные треугольники должны совпадать по форме и размеру. Равные площади сами по себе этого не обеспечивают. Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника одинаковой площади, но соседние треугольники обычно имеют разные основания. Все четыре равны только в частном случае квадрата.

Утверждение 2: контрпример

Возьмём прямоугольник со сторонами 4 и 2. У треугольников AOB и BOC две стороны — одинаковые половины диагоналей √5, но третьи стороны AB = 4 и BC = 2 различны.

AO

=BO

=CO

=\sqrt{5}

AB

=4,\quad BC

=2

4\ne2

Неверно. Противоположные треугольники равны попарно. Все четыре — равновеликие, то есть имеют одинаковую площадь.

Утверждение 3: разбираем правило

«Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.»

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. В утверждении числитель и знаменатель переставлены местами. Гипотенуза длиннее катета, поэтому предлагаемое отношение было бы больше 1, а косинус острого угла находится между 0 и 1.

Утверждение 3: контрпример

В треугольнике с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 для угла при A прилежащий катет AC = 4. Косинус равен 4/5, а не 5/4.

\cos A

=\frac{4}{5}

=0{,}8

\frac{5}{4}

=1{,}25

Неверно. Запоминайте порядок: катет в числителе, гипотенуза в знаменателе.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Равные треугольники должны совпадать по форме и размеру. Равные площади сами по себе этого не обеспечивают.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Утверждение совпадает с теоремой о средней линии трапеции.
Противоположные треугольники равны попарно. Все четыре — равновеликие, то есть имеют одинаковую площадь.
Запоминайте порядок: катет в числителе, гипотенуза в знаменателе.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники