Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 82C715.
Ответ: 23.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.»
В прямоугольном треугольнике c² = a² + b²; сама гипотенуза не равна сумме катетов. Теорема Пифагора связывает квадраты сторон. Кроме того, по неравенству треугольника гипотенуза строго меньше суммы катетов.
Для катетов 3 и 4 гипотенуза равна 5, а сумма катетов — 7.
Неверно. Нельзя убирать квадраты из теоремы Пифагора, просто складывая длины.
«Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.»
Ромб имеет четыре равные стороны; если все его углы прямые, это квадрат. У ромба противоположные углы равны, соседние в сумме дают 180°. Если один угол 90°, противоположный тоже 90°, а каждый соседний равен 180° − 90° = 90°. Все углы стали прямыми.
Получили одновременно равенство всех сторон и четыре прямых угла — определение квадрата.
Верно. Одного прямого угла у ромба достаточно, чтобы все остальные тоже стали прямыми.
«Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.»
Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра. Если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Расстояние между O и A равно длине этого отрезка, то есть R. Это следует из определения окружности.
На схеме все точки окружности, включая A, находятся от O на расстоянии R.
Верно. Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.
1 — неверно; 2 — верно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 23. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Верно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 23 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.