ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ A9D5C999 из 150

Треугольники, окружности, четырёхугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A9D5C9.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 12.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.
Утверждение 2: Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
Утверждение 3: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.»

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. У равностороннего треугольника равны все три стороны, поэтому любые две из них также равны. Он удовлетворяет условию равнобедренности и является её частным случаем.

Утверждение 1: поясняющий пример

Из AB = BC = CA в частности следует AB = AC.

AB

=BC

=CA\ \Longrightarrow\ AB

=AC

Верно. Не добавляйте к определению равнобедренного треугольника слово «ровно»: третья сторона тоже может быть равной.

Равносторонний треугольник со стороной 2.

Утверждение 2: разбираем правило

«Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.»

Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра. Если A лежит на окружности с центром O, то OA — радиус. Расстояние между O и A равно длине этого отрезка, то есть R. Это следует из определения окружности.

Утверждение 2: поясняющий пример

На схеме все точки окружности, включая A, находятся от O на расстоянии R.

A\in\omega\ \Longrightarrow\ OA

=R

Верно. Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.

Утверждение 3: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 3: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 12. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Верно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	12

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
Окружность состоит из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от центра.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не добавляйте к определению равнобедренного треугольника слово «ровно»: третья сторона тоже может быть равной.
Не путайте окружность с кругом: внутри круга расстояние до центра может быть меньше R.
Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники, окружности, четырёхугольники