Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание ED9498.
Ответ: 13.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.»
Для двух сторон a, b и угла γ между ними . В треугольнике 0° < γ < 180°, поэтому 0 < sin γ ≤ 1. Следовательно, S ≤ ab/2. Так как a и b положительны, ab/2 строго меньше ab. Значит, площадь всегда меньше произведения этих двух сторон.
Даже при максимальном синусе, когда γ = 90°, площадь составляет только половину произведения сторон. Для катетов 3 и 4 получаем 6 < 12.
Считаем числитель: .
Верно. Строгое неравенство в утверждении верно и для прямоугольного треугольника.
«Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.»
Через одну точку плоскости проходит бесконечно много прямых. Одна точка не задаёт направление. Через неё можно провести горизонтальную, вертикальную и множество наклонных прямых.
На схеме три различные прямые проходят через O. Уже наличие двух разных прямых опровергает слово «только одну».
Неверно. Ровно одна прямая проходит через две различные заданные точки, а не через одну.
«Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.»
Два треугольника подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого. Третий угол каждого треугольника находится как 180° минус сумма первых двух. Поэтому третьи углы тоже равны. Это признак подобия по двум углам.
Если у обоих треугольников есть углы 60° и 60°, третий угол у каждого тоже 60°. Стороны могут иметь разные длины, но будут пропорциональны.
Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.
Верно. Вывод именно о подобии. Равенство треугольников без условия об одинаковом размере не следует.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 13 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.