ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ ABE46D125 из 150

Четырёхугольники и треугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание ABE46D.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Утверждение 2: Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Утверждение 3: Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.»

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Это одно из двух основных свойств средней линии: направление параллельно основаниям, длина равна их полусумме. В утверждении приведено первое свойство.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме M и N — середины боковых сторон. Отрезок MN параллелен AD и BC.

MN\parallel AD,\quad MN\parallel BC

Верно. Среднюю линию не следует путать с диагональю: у них разные концы и направление.

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 2: разбираем правило

«Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Для равенства по двум сторонам требуется ещё равенство угла между ними. Две стороны не определяют треугольник однозначно: угол между ними можно менять. Третья сторона при этом изменится. Значит, совпадения только двух сторон недостаточно.

Утверждение 2: контрпример

В одном треугольнике две стороны равны 2 и образуют угол 60°: он равносторонний, третья сторона 2. Во втором две стороны тоже равны 2, но угол между ними 90°, поэтому третья сторона 2√2.

c_1

=2

c_2

=\sqrt{2^2+2^2}

=2\sqrt{2}

2\ne2\sqrt{2}

Неверно. Нужно добавить условие об угле между данными сторонами либо использовать другой полный признак равенства.

Сравнение двух фигур: указанные длины и углы относятся к этим примерам.

Утверждение 3: разбираем правило

«Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.»

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника. У остроугольного треугольника этот центр внутри, у прямоугольного — в середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи. Слово «всегда» делает данное утверждение неверным.

Утверждение 3: контрпример

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Его гипотенуза равна 5, а центр описанной окружности O — середина гипотенузы. Он лежит на стороне, а не внутри.

AB

=\sqrt{3^2+4^2}

=5

R

=\frac{5}{2}

=2{,}5

Неверно. Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям.
Для равенства по двум сторонам требуется ещё равенство угла между ними.
Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Среднюю линию не следует путать с диагональю: у них разные концы и направление.
Нужно добавить условие об угле между данными сторонами либо использовать другой полный признак равенства.
Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Четырёхугольники и треугольники