Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 24F14A6 из 150

Треугольники и четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

  2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

  3. Диагонали ромба равны.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 24F14A.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Утверждение 2
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Утверждение 3
Диагонали ромба равны.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.»

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника. У остроугольного треугольника этот центр внутри, у прямоугольного — в середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи. Слово «всегда» делает данное утверждение неверным.

Утверждение 1: контрпример

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Его гипотенуза равна 5, а центр описанной окружности O — середина гипотенузы. Он лежит на стороне, а не внутри.

ABAB=32+42=\sqrt{3^2+4^2}
=5=5
RR=52=\frac{5}{2}
=2,5=2{,}5

Неверно. Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».

К утверждению 1: контрпример

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Обозначения на чертеже
  • CA = 4; CB = 3; AB = 5
  • OA = OB = OC = 2,5
  • O лежит на гипотенузе AB
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.»

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Равнобедренный треугольник является частным случаем треугольника, поэтому общее правило применяется и к нему. Равенство двух сторон не меняет сумму углов.

Утверждение 2: поясняющий пример

Например, равнобедренный треугольник может иметь углы 45°, 45° и 90°.

4545+45+45+90+90=90=90+90+90

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180∘=180^\circ

Верно. Утверждение верно. Не нужно путать сумму всех углов с суммой только двух углов при основании.

К утверждению 2: пример

Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Обозначения на чертеже
  • AB = AC = 1; ∠A = 90°; ∠B = ∠C = 45°
Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Диагонали ромба равны.»

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, но не обязательно равны. Равенство диагоналей выделяет среди ромбов квадраты. Обычный ромб с острым и тупым углами имеет разные диагонали.

Утверждение 3: контрпример

У ромба со стороной 2 и острым углом 60° диагонали равны 2 и 2√3. Они не равны.

d1d_1=2,d2=2,\quad d_2
=23=2\sqrt{3}
2≠232\ne2\sqrt{3}

Неверно. Не переносите свойство равенства диагоналей прямоугольника на любой ромб.

К утверждению 3: контрпример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
  • AC = 2√3; BD = 2
  • AO = OC; BO = OD; AC ⟂ BD
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — верно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 2. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Верно
Утверждение 3Неверно
Ответ2

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.
  • Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
  • Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, но не обязательно равны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Достаточно этого прямоугольного треугольника, чтобы опровергнуть слово «всегда».
  • Утверждение верно. Не нужно путать сумму всех углов с суммой только двух углов при основании.
  • Не переносите свойство равенства диагоналей прямоугольника на любой ромб.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)