Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 6B5090110 из 150

Прямые и углы, треугольники, четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. Смежные углы всегда равны.

  2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

  3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Введите одну цифру: 1, 2 или 3 — номер верного утверждения.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6B5090.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 3.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Смежные углы всегда равны.
Утверждение 2
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Утверждение 3
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Смежные углы всегда равны.»

Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны. Для равенства двух смежных углов каждый должен быть 90°. Без такого условия возможны разные значения.

Утверждение 1: контрпример

Углы 30° и 150° могут быть смежными: их сумма равна 180°, но они различаются.

3030+150+150=180∘=180^\circ
30∘≠150∘30^\circ\ne150^\circ

Неверно. Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.

К утверждению 1: контрпример

Взаимное расположение прямых и углов.
Обозначения на чертеже
  • ∠BOC = ∠AOD = 30° — вертикальные
  • ∠AOC = 150° — смежный с углом BOC
Взаимное расположение прямых и углов.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.»

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис. Рассмотрим биссектрису угла при основании. Она делит этот угол пополам, однако не обязана быть перпендикулярной противоположной стороне.

Утверждение 2: контрпример

У равнобедренного прямоугольного треугольника угол A = 90°, углы B и C по 45°. Биссектриса BD делит B на углы по 22,5°. В треугольнике ABD угол ADB равен 67,5°, а не 90°.

452\frac{45}{2}=22,5∘=22{,}5^\circ
∠ADB\angle ADB=180=180−90-90−22,5-22{,}5
=67,5∘=67{,}5^\circ

Неверно. Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.

К утверждению 2: контрпример

Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Обозначения на чертеже
  • AB = AC = 1; ∠A = 90°; ∠B = ∠C = 45°
  • BD — биссектриса угла B, а не угла при вершине A
  • AD : DC = 1 : √2; ∠ADB = 67,5°
Равнобедренный прямоугольный треугольник.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.»

Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны. Утверждение требует лишь существования хотя бы одного такого прямоугольника. Подходит любой квадрат, поэтому существование доказано.

Утверждение 3: поясняющий пример

Возьмём квадрат со стороной 2. Он имеет четыре прямых угла, а диагонали пересекаются под углом 90°.

AC⊥BDAC\perp BD

Верно. Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.

К утверждению 3: пример

Квадрат со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2; BC = 2
  • AC = BD = 2√2
  • O — середина обеих диагоналей
Квадрат со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Неверно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Верно
Ответ3

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Смежные углы в сумме дают 180°, но не обязательно равны.
  • Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой, но это не общее свойство всех трёх биссектрис.
  • Квадрат является прямоугольником, а его диагонали перпендикулярны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Равенство — свойство вертикальных углов. Для смежных основное свойство — сумма 180°.
  • Биссектриса BD в этом примере не является высотой. Значит, слово «каждая» неверно.
  • Не путайте «существует прямоугольник» с «в любом прямоугольнике»: второе было бы неверно.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)