Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Тангенс любого острого угла меньше единицы.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 902360.
Ответ: 3.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Тангенс любого острого угла меньше единицы.»
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катеты могут быть равными, а противолежащий катет может быть и больше прилежащего. Поэтому тангенс острого угла не обязан быть меньше 1.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы по 45°, катеты равны. Тангенс 45° равен 1, что уже опровергает строгое «меньше единицы».
Неверно. Для углов больше 45° и меньше 90° тангенс больше 1; для углов меньше 45° — меньше 1.
«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.
При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.
Считаем числитель: .
Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
«Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.»
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Пусть M — середина AB, а P лежит на прямой через M, перпендикулярной AB. Прямоугольные треугольники PMA и PMB имеют общий катет PM и равные катеты MA = MB. Поэтому они равны, а гипотенузы PA и PB одинаковы.
На схеме равенство расстояний PA = PB получается из равенства двух прямоугольных треугольников.
Верно. Нужен именно серединный перпендикуляр: просто перпендикуляр к отрезку может не давать равных расстояний.
1 — неверно; 2 — неверно; 3 — верно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 3. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Неверно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 3 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.