Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 109D0329 из 150

Четырёхугольники

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

  1. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

  2. Все углы ромба равны.

  3. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Запишите номера всех верных утверждений подряд, без повторов и знаков препинания. В бланке используйте возрастающий порядок; на сайте порядок номеров не влияет на проверку.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 109D03.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Утверждение 2
Все углы ромба равны.
Утверждение 3
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.»

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. У треугольников ABC и CDA общая сторона AC. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD и BC = AD. Получились три пары равных сторон, поэтому треугольники равны по третьему признаку.

Утверждение 1: поясняющий пример

На схеме диагональ AC образует именно эти два треугольника.

ABAB=CD,BC=CD,\quad BC
=AD,AC=AD,\quad AC
=CA=CA
△ABC≅△CDA\triangle ABC\cong\triangle CDA

Верно. Здесь доказано равенство треугольников целиком, а не только их площадей.

К утверждению 1: пример

Диагональ параллелограмма образует два равных треугольника.
Обозначения на чертеже
  • AC — общая сторона треугольников ABC и CDA
  • AB = CD; BC = AD
Диагональ параллелограмма образует два равных треугольника.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 2: разбираем правило

«Все углы ромба равны.»

У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата. Противоположные углы ромба равны, соседние дополняют друг друга до 180°. Они могут быть разными: острыми и тупыми.

Утверждение 2: контрпример

Ромб с углами 60°, 120°, 60°, 120° удовлетворяет определению ромба, но не имеет четырёх одинаковых углов.

6060+120+120=180∘=180^\circ
60∘≠120∘60^\circ\ne120^\circ

Неверно. Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.

К утверждению 2: контрпример

Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Обозначения на чертеже
  • Все стороны равны 2
  • Углы A и C: 60°; углы B и D: 120°
Ромб со стороной 2 и острым углом 60°.
Открыть схему крупнее ↗

Утверждение 3: разбираем правило

«Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.»

Площадь квадрата со стороной a равна S=a2S=a^2. Смежные стороны имеют общую вершину. У квадрата обе такие стороны равны a, поэтому их произведение a·a равно a². Это в точности формула площади квадрата.

Утверждение 3: поясняющий пример

Например, если сторона квадрата равна 2, площадь равна 2·2 = 4.

SS=a=a⋅a\cdot a
=a2=a^2
22⋅2\cdot2=4=4

Верно. Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.

К утверждению 3: пример

Квадрат со стороной 2.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2; BC = 2
Квадрат со стороной 2.
Открыть схему крупнее ↗

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.

У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.

Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Утверждение 1Верно
Утверждение 2Неверно
Утверждение 3Верно
Ответ13

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
  2. В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
  3. Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
  4. Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
  5. Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  • У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата.
  • Площадь квадрата со стороной a равна S=a2S=a^2.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Здесь доказано равенство треугольников целиком, а не только их площадей.
  • Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.
  • Утверждение верно для любого квадрата; числовой пример лишь иллюстрирует общую формулу.
  • Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.
Все задания №19 (150)