ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 19 · ФИПИ 3C09F724 из 150

Треугольники и четырёхугольники

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3C09F7.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 1.

Что нужно найти

Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.

Идея решения

Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.

Утверждение 1: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
Утверждение 2: Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Утверждение 3: В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Понимаем, что требуется выбрать

В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.

Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.

Утверждение 1: разбираем правило

«Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.»

Все углы треугольника в сумме дают 180°, один угол прямоугольного треугольника равен 90°. Чтобы найти сумму двух оставшихся острых углов, вычтем прямой угол из общей суммы.

Утверждение 1: поясняющий пример

Получаем 180° − 90° = 90°. Это верно для любого прямоугольного треугольника.

180

-90

=90^\circ

Верно. В утверждении речь именно о двух острых углах, поэтому оно верно.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

Утверждение 2: разбираем правило

«Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.»

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ . В утверждении пропущено деление суммы на 2. Из-за этого предлагаемая длина получается вдвое больше правильной.

Утверждение 2: контрпример

При основаниях 6 и 2 средняя линия равна 4, тогда как сумма оснований равна 8.

m

=\frac{6+2}{2}

=\frac{8}{2}

Считаем числитель: $6+2=8$ .

=4

6

+2

=8

4\ne8

Неверно. Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».

Равнобедренная трапеция с разными основаниями.

Утверждение 3: разбираем правило

«В любой четырёхугольник можно вписать окружность.»

Окружность, вписанная в четырёхугольник, должна касаться всех четырёх сторон. Не каждый четырёхугольник допускает такую окружность. У прямоугольника с разными сторонами окружность не может одновременно касаться обеих пар противоположных сторон: её диаметр должен был бы равняться двум разным расстояниям.

Утверждение 3: контрпример

В прямоугольнике 4×2 касание горизонтальных сторон требует диаметра 2, а вертикальных — диаметра 4. Одновременно это невозможно.

2r

=2,\quad 2r

=4

2\ne4

Неверно. Квадрат допускает вписанную окружность, но произвольный четырёхугольник — не обязательно.

Прямоугольник со сторонами 4 и 2. Круг касается двух горизонтальных сторон, но не двух вертикальных.

Проверяем все три вывода

1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.

Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.

Записываем ответ

Переносим номер верного высказывания.

Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.

Итоги решения и проверки
Что проверяем	Результат
Утверждение 1	Верно
Утверждение 2	Неверно
Утверждение 3	Неверно
Ответ	1

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Прочитайте, нужно ли выбрать одно или все верные высказывания.
В каждом утверждении выделите фигуру, условия и заявленное свойство.
Вспомните определение или теорему; проверьте, что в условии есть все необходимые ограничения.
Если сомневаетесь в общем утверждении, проверьте квадрат, прямоугольник с разными сторонами, прямоугольный треугольник или другой допустимый частный случай.
Сверьте все три вывода и запишите только номера верных утверждений.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Все углы треугольника в сумме дают 180°, один угол прямоугольного треугольника равен 90°.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}$ .
Окружность, вписанная в четырёхугольник, должна касаться всех четырёх сторон.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В утверждении речь именно о двух острых углах, поэтому оно верно.
Правильное слово — «полусумме», а не «сумме».
Квадрат допускает вписанную окружность, но произвольный четырёхугольник — не обязательно.
Пример, подтверждающий общее утверждение, ещё не доказывает его для всех фигур. Для опровержения же достаточно одного контрпримера.

Все задания №19 (150)

Треугольники и четырёхугольники