Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
Все углы ромба равны.
Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание E63C99.
Ответ: 1.
Выбрать одно верное геометрическое утверждение и записать его номер.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать одно истинное высказывание и записать его номер.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.»
Через точку плоскости вне прямой можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Из данной точки опускают перпендикуляр на прямую. Полученная прямая проходит через точку и пересекает исходную под углом 90°.
На схеме A — данная точка, H — основание перпендикуляра. Прямая AH искомая.
Верно. Утверждение верно. Перпендикуляр здесь существует и единственен.
«Все углы ромба равны.»
У ромба равны все стороны, но все углы равны только у квадрата. Противоположные углы ромба равны, соседние дополняют друг друга до 180°. Они могут быть разными: острыми и тупыми.
Ромб с углами 60°, 120°, 60°, 120° удовлетворяет определению ромба, но не имеет четырёх одинаковых углов.
Неверно. Верно: противоположные углы ромба равны. Для равенства всех углов ромб должен быть квадратом.
«Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.»
У квадрата диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. У произвольного выпуклого четырёхугольника первые два свойства не обеспечивают третьего. Поэтому равные перпендикулярные диагонали ещё не гарантируют квадрат.
Построим выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями AC = BD = 4, но AO = 1, OC = 3, BO = OD = 2. Диагонали равны и перпендикулярны, однако AC не делится пополам. У квадрата это невозможно.
Неверно. Утверждение стало бы верным, если бы дополнительно было сказано, что четырёхугольник — параллелограмм.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — неверно.
Выбрано единственное верное высказывание. Остальные опровергнуты контрпримерами или противоречат указанным правилам. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номер верного высказывания.
Ответ: 1. В ответе нужна одна цифра: номер высказывания, а не числовое значение из примера.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Неверно |
| Ответ | 1 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.