Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
Любые два равносторонних треугольника подобны.
В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
Все диаметры окружности равны между собой.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание A3D99A.
Ответ: 13.
Выбрать все верные геометрические утверждения и записать их номера.
Проверяем определения и условия теорем. Для верного высказывания объясняем, почему работает общее правило; для неверного показываем допустимый случай, в котором оно нарушается.
В задании три высказывания. Нужно выбрать все верные: правильных номеров может быть несколько.
Каждое высказывание проверяем отдельно. Общее утверждение должно выполняться во всех случаях, указанных в его условии. Один подходящий контрпример опровергает его.
«Любые два равносторонних треугольника подобны.»
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. У любых двух равносторонних треугольников соответствующие углы совпадают. Следовательно, они подобны по двум углам независимо от размеров.
Треугольники со сторонами 2 и 3 имеют одинаковые углы 60°, 60°, 60° и коэффициент подобия 3/2.
Верно. Подобие допускает изменение масштаба; равенство размеров не требуется.
«В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.»
У прямоугольника диагонали равны и делятся пополам, но не обязательно перпендикулярны. Перпендикулярность диагоналей прямоугольника дополнительно потребовала бы равенства соседних сторон, то есть превратила бы его в квадрат. Не каждый прямоугольник — квадрат.
У прямоугольника 4×2 соседние стороны различны. Его диагонали пересекаются, но не под прямым углом.
Неверно. Слово «в любом» неверно. Перпендикулярные диагонали существуют у прямоугольника-квадрата.
«Все диаметры окружности равны между собой.»
Диаметр окружности проходит через центр и состоит из двух радиусов. Радиусы одной окружности имеют общую длину R. Поэтому любой диаметр имеет длину R + R = 2R. Все диаметры этой окружности равны.
Например, при радиусе 1 каждый диаметр равен 2.
Верно. Утверждение относится к диаметрам одной окружности. У окружностей разных радиусов диаметры могут различаться.
1 — верно; 2 — неверно; 3 — верно.
У каждого выбранного высказывания проверены все условия правила. Для каждого неверного указан контрпример или объяснено противоречие. Числовые примеры к верным общим свойствам только помогают их понять; основание вывода — само правило и его обоснование.
Переносим номера верных высказываний подряд, без пробелов и знаков препинания.
Ответ: 13. Записываем номера в возрастающем порядке. Проверка на сайте также принимает другой порядок тех же номеров.
| Что проверяем | Результат |
|---|---|
| Утверждение 1 | Верно |
| Утверждение 2 | Неверно |
| Утверждение 3 | Верно |
| Ответ | 13 |
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.